Problemas do 1º grau exemplos e exercícios

Problemas do 1º grau exemplos e exercícios

Para resolver problemas matemáticos, é necessário usar a lógica. Através dela, você conseguirá transformar seus problemas cotidianos em "problemas matemáticos". É o primeiro passo para você conseguir resolver uma equação, igualdade que possua pelo menos uma incógnita (valor que você não conhece), representada por letra.

Linguagem e matemática
Em português se diz:	Em termos matemáticos:
dois somado a dez	2 + 10
três vezes dez	3 x 10
o dobro de um número	2 x X

Uma das vantagens da simbologia matemática é que todo mundo a entende: brasileiros, alemães, poloneses, japoneses, etc.

 Incógnitas

Veja o enunciado do seguinte problema:

1) Pense em um número, multiplique-o por 5, some 31 e o resultado é 86. Que número é esse?

Para resolver o problema, devem-se usar as operações inversas e começar pelo fim:

Ou seja:

a) 86 - 31 = 55
(a subtração é a operação inversa à adição)

b) 55 : 5 = 11
(a divisão, inversa à multiplicação)

Logo, o resultado é 11.

Mas poderíamos escrever o problema de maneira diferente:

Pense em um número. Como é um número qualquer, que você não conhece, represente-o por x.

Multiplique-o por 5

Some 31

O resultado é 86, ou seja:

Usando as operações inversas, temos:

A fórmula apresentada no quadro acima é uma equação. E você viu, passo a passo, como resolvê-la, nos quadros a e b.

2) Um menino nasceu 6 anos depois de seu irmão. Em um certo momento ele tinha o dobro da idade desse irmão. Quantos anos os dois tinham nesse momento? Esse é o tipo de problema que pode ser resolvido por meio de uma equação.

As equações são uma igualdade que funcionam como uma balança. Tudo que você fizer dos dois lados da equação vai mantê-la igualada (balanceada).

Voltando ao problema, pode-se chamar de x a idade do irmão mais novo.. Essa é uma técnica de álgebra de substituir a incógnita por uma letra.

x = irmão mais novo

Como o irmão mais velho possui 6 anos a mais:

x + 6 = irmão mais velho

A pergunta é qual a idade dos dois quando o mais velho tiver o dobro da idade do mais novo?

Logo, a idade do irmão mais novo vezes 2 será igual à idade do mais velho:

2x = x + 6

Como resolver isso?

Lembre-se: o que for feito de um lado, tem de ser feito do outro. Subtraindo x dos dois lados, tem-se:

2x - x = x + 6 - x

Em vez de x, pense em maçãs. No primeiro termo, se houver duas maçãs e se tirar uma, resta uma. Já no segundo termo, se houver uma maçã e se tirar uma resta zero.

x = 6 

Como x é a idade do irmão mais novo, ele terá 6 anos e seu irmão terá 12 anos (6 anos a mais).

Note que a idade do mais velho (12) é o dobro da do mais novo (6).

3) O dobro de um número , aumentado de 23, é igual a 71. Qual é esse número?

Resolução: Se chamarmos esse número de x, podemos escrever:

2x = 23 = 71 ► 2x = 71 - 23 ► 2x = 48 ► x = 24

O dobro de 24 é 48 e que adicionado a 23 realmente dá 71.

O número pedido é 24.

Exercícios propostos e resolvidos  problemas do 1º grau

1) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número?

2) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento ?

3)  Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na 1ª prestação, ele pagou a metade do valor da camisa, na 2ª prestação , a terça parte e na ultima R$ 20,00. Quanto ele pagou pela camisa?

4) Márcio e Plínio têm juntos R$ 35.000,00. Márcio tem a mais que Plínio R$ 6.000,00. Quanto tem cada um?

5) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual da idade do mais velho? 

6)  Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 145 pontos. A equipe A fez o dobro de pontos, menos 5, que a equipe B , Então, a equipe A marcou:

7) Um número inteiro positivo multiplicado pelo seu sucessor (consecutivo) é igual a 12. O numero é :

a) 2

b) 3  

c) 5

d) 6

e) 8

8) Pedro é dois anos mais velhos que seu irmão. Como a soma das idades deles é 42, pode-se afirmar que, agora, Pedro tem?

a) 15 anos

b) 18 anos

c) 22 anos 

d) 25 anos

e) 28 anos

9) Dividindo-se um número por 4 ou subtraindo-se 4 desse mesmo número, obtêm-se resultados iguais . Qual é esse número? 

10) Na Grécia antiga, Policrate, senhor absoluto do poder na ilha de Samos, perguntando a Pitágoras quantos alunos ele tinha, obteve a seguinte resposta : "A metade estuda Matemática, a quarta parte estuda os mistérios da natureza, a sétima parte medita em silencio e há ainda três mulheres " Quantos eram os alunos de Pitágoras

11) Numa caixa há bolas brancas e pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do de preta, então o número de bolas brancas é:

a) 200            b) 288             c) 300         d) 309             e) 320

12) Deseja-se cortar uma tira de couro de 120 cm de comprimento, em duas partes tais que o comprimento de uma seja igual ao triplo da outra . A parte maior mede: 

13) Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mário R$ 14,00 a menos que Paulo. Nós temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um?

14)  (CESD-2008) A soma de dois números é 75. Se na divisão do maior pelo menor, obtém-se quociente e resto iguais a 3, então a diferença entre o maior e o menor desses números é

a) 24.

b) 28.

c) 35.

d) 39.

15) (Pref. Teresópolis) O ingresso do cinema custa 5 reais por criança e 10 reais por adulto. Ao final do dia, haviam sido vendidos 50 ingressos, e a arrecadação total fora de 350 reais. Quantos adultos foram ao cinema?

a) 18

b) 20

c) 25

d) 40

e) 45

16) (CESD-2008) Ao distribuir R$ 80,00 entre duas meninas, de modo que a mais nova receba R$ 16,00 a menos que a mais velha, a quantia dada à mais velha será um valor múltiplo de R$

a) 9,00.

b) 7,00.

c) 5,00.

d) 4,00.

17)  Para cercar um terreno retangular de 50 m de comprimento, será feita uma porteira de madeira de 3m de extensão e uma cerca com 5 fios de arame. Se a medida da largura desse terreno é igual a dois quintos da do comprimento, então o número de metros de arame necessário será:

a) 700.                   

b) 685.                   

c) 557.                   

d) 535.

18) Reparti R$109,00 entre três irmãs, de modo que a 2.ª recebeu R$6,00 a menos que a 1.ª, e a 3.ª recebeu R$10,00 a mais que a 2.ª. A quantia dada à 2.ª foi R$

a) 35,00.

b) 33,00.

c) 31,00.

d) 29,00.

19) Três amigos M, N e P têm juntos R$ 1.054,00. Se M tivesse o dobro do que tem, N tivesse a metade do que tem e P tivesse  R$ 10,00 a mais do que tem, então todos teriam a mesma importância. Quantos reais possui N?

a) 152

b) 294

c)  608

d)  304

20) Uma pesquisa realizada numa comunidade de 3000 homens revelou que 20, em cada 150 homens, são militares. Nessa comunidade, o número de homens que não são militares é

a) 400.

b) 1600.

c) 2400.

d) 2600.

21) uma criança gastou 36,00 comprando chocolates. Se cada chocolate custasse 1,oo a menos, ela poderia ter comprado mais 3 chocolates. quantos chocolates ela comprou? 

Resolução:

x = preço de cada chocolate 

y= número de chocolates

(1) x x y = 36 reais 

se tirarmos 1 real do preço do chocolate, poderemos comprar com o mesmo dinheiro mais trés chocolates. Portanto se equacionarmos essa situação ficaremos de tal forma :

(2)(x-1) x (y+3) = 36 reais 

agora substituindo a primeira equação na segunda, chegaremos em uma equação do segundo grau:

3x²-3x-36= 0 

Resolvendo a equação do segundo grau teremos como valores x = 4 e y =9

22) Numa caixa, o número de moedas de 1 real é o triplo do número de moedas de 25 centavos. Se tirarmos 2 moedas de 25 centavos e 26 moedas de 1 real, o número de moedas de 1 real e de 25 centavos ficará igual. Qual a quantidade de moedas de 1 real e de 25 centavos?

Resolução:

m1 = moedas de um real 

m25= moedas de vinte e cinco centavos

sabemos que m1 = 3m25 

e o exercício nos fala que se retirarmos duas m25 e retirarmos 26 m1 teremos uma igualdade no número de moedas.Portanto se equacionarmos esse problema ficará da seguinte maneira: 

m25 - 2 = m1 - 26 , agora se substituirmos a primeira equação na segunda ficaremos assim: 

m25 - 2= 3 x m25 - 26. então chegaremos em um total de 12 moedas m25 e 36 moedas m1.

23) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?

Resolução:

Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.

A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:

O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.

Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.

Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:

Ao fazermos a subtração:

Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:

Que dividindo dá:

Portanto:

O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.

24) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria?

Resolução:

Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:

O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:

Realizando as subtrações:

O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:

Que dividindo dá:

Tomemos então o primeiro membro da equação inicial

Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:

Portanto:

Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.

25) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?

Resolução:

Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.

Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.

Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:

x + 8 = 28 - x

A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.

O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.

x + x + 8 = 28

x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.

2x + 8 = 28

Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:

2x = 28 - 8

Realizando a subtração:

2x = 20

O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:

x = 10

Portanto:

Eu tenho 10 carrinhos.

26) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

Resolução:

x + y = 20

2x + 4y = 56

Sistema com duas equações do 1º grau à duas variáveis.

-2x - 2y = -40

2x + 4y = 56

___________

 2y = 16

 y = 8 e x = 12

Resposta: Bicicletas: x = 12 e Carros: y = 8.

27) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

Resolução:

p = bolas pretas

b = bolas brancas

Temos:

p = 3b

p-24 = b-4, substituir 3b em p.

3b-24 = b-4

3b-b = -4+24

2b = 20

b = 20/2

b = 10

Resposta: Temos 10 bolas brancas.

Gabarito:

1) 64  2) 13  3) 120  4) Márcio 20.500 e Plínio 14.500  5) 54  6) 95  7) B  8) C  9) 16/5  10) 28 alunos  11) B  12) 90  13) 70, 50 e 36   14) D  15) B  16) D  17) B  18) C  19) C  20) D

Exercícios propostos e resolvidos sobre juros compostos

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

    1º mês: M =P.(1 + i)
    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

    Simplificando, obtemos a fórmula:
  

M = P . (1 +  i)n

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
  

J = M - P

    Exemplo:

   Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
  (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

   Resolução:

   P = R$6.000,00
    t = 1 ano = 12 meses
    i = 3,5 % a.m. = 0,035
    M = ?

  

   Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:

   M  =  6000.(1+0,035)¹²  =  6000. (1,035)¹²
    Fazendo  x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:

   log x = log 1,035¹²    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509

   Então  M = 6000.1,509 = 9054.

    Portanto o montante é R$9.054,00

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan3.php

Exercícios propostos e resolvidos sobre juros compostos

1) Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.

Resolução:

S=P* (1+i)ⁿ

2) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?

Resolução:

S=P* (1+i)ⁿ

 3) Um capital de R$ 5000,00, aplicado durante um ano e meio, produziu um montante de R$ 11.000,00. Determine a taxa de juros dessa aplicação.

Resolução:

S=P* (1+i)ⁿ

4) Um eletrodoméstico sai à vista por R$ 550,00. Se for dada uma entrada de R$ 150,00 e o restante for pago em 4 prestações mensais a uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual será o valor mensal de cada parcela?

Resolução:

As variáveis do problema têm os seguintes valores:

Agora podemos calcular o coeficiente de financiamento:

Aplicando a fórmula para o cálculo de prestações podemos executar os cálculos conforme abaixo:

Portanto:

O valor mensal da prestação deste eletrodoméstico será de R$ 106,33.

5) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

Resolução:

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro composto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que estamos a procura:

Substituindo o valor das variáveis na fórmula:

Assim sendo:

Para que eu consiga dobrar o valor do meu capital precisarei de 41,12 meses de aplicação.

6) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?

Resolução:

Do enunciado obtemos os seguintes valores:

Para sabermos qual o montante produzido na modalidade simples utilizaremos a fórmula abaixo:

Ao substituirmos as variáveis e realizarmos os cálculos iremos obter o resultado:

Agora que sabemos que o montante produzido na modalidade simples é R$ 11.800,00, utilizaremos a fórmula abaixo para calcularmos a taxa de juros na modalidade capitalizada:

Substituindo as variáveis e calculando:

Como sabemos ao multiplicarmos 0,0279698 por cem iremos obter o valor percentual da taxa a qual estamos procurando.

Portanto:

Os R$ 10.000,00 precisam ser aplicados à taxa capitalizada de 2,79698% a.m. para que se apure o montante de R$ 11.800,00, o mesmo montante produzido na aplicação a juros simples pelo mesmo período de tempo.

7) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado?

Resolução:

Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado:

Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro composto é:

Mas como estamos interessados em calcular o capital, é melhor que isolemos a variável C como a seguir:

Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:

Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:

Vamos então novamente isolar a variável C:

Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:

Logo:

O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96.

8) Vanessa comprou um telefone celular cujo preço à vista é R$ 690,00, pagando 60% de entrada e o restante após 30 dias em uma única parcela de R$ 300,84, qual a taxa de juros diárias cobradas pela loja?

Resolução:

Sessenta por cento de entrada é 60% de 690 = R$ 414,00, portanto o capital inicial será R$ 414,00 e o capital final será 

R$ 414,00 + R$ 300,84 = R$714,84.

Da fórmula C = C₀.(1 + i)^t onde C é o capital final e C₀ é o capital inicial, i a taxa de juros e t o período segue que

714,84 = 414.(1 + i)¹

714,84 = 414 + 414i

714,84 - 414 = 414i

300,84 = 414i

i = 300,84/414 = 0,73 ao mês. Assim, por dia, divida por 30, ficará: i = 0,024 ao dia ou 2% ao dia, aproximadamente.

9) (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a:

a) 2
b) 5
c) 20
d) 40
e) 80

10) A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00?

11)  (UnB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em:

a) 24 anos
b) 6 anos
c) 12 anos
d) 10 anos
e) 5 anos

12) Em uma promoção numa revenda da carros, está sendo dado um desconto de 18% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será:

a) R$ 13.120,00
b) R$ 13.220,00
c) R$ 13.320,00
d) R$ 13.420,00
e) R$ 13.520,00

13) Quais são os juros  simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregados a 10% ao ano, durante 5 anos?

14) Um aparelho de som é vendido à vista por R$ 1200,00 ou a prazo com R$ 200,00 de entrada mais 3  prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a loja cobra juros compostos à taxa de  3% a.m.?

15) Encontre o montante produzido por um capital de R$5.000,00, empregado a juros compostos de 3% ao mês durante 12 meses.

16)  Depois de quanto tempo um capital inicial  de R$5.000,00 dobre todo ano passará ser maior que R$40.000,00 reais?

17) (CONCURSO BANCO DO BRASIL)  Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta.Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão:

a) R$ 98,00       b) R$ 101,00       c) R$ 110,00      d) R$ 114,00     e) R$ 121,00

18) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos  anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?


Gabarito:

9) C  10) A taxa é de 10% ao ano.  11) E  12) A  13) Os juros produzidos são de R$ 3600,00.
14) R$ 364,24  15) M = R$ 7128,80  16) M = R$40,000,00  17) B  18) 2 anos